Ta có \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\left(x-1\right).\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\ge4\)(với x>1) Dấu '=' xảy ra khi x-2=0   <=> x=2 (TMĐK)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho a,b,c >1 ta được 

\(\frac{a^2}{a-1}\ge4\);  \(\frac{2b^2}{b-1}\ge2.4=8\);   \(\frac{2017c^2}{c-1}\ge2017.4=8068\)

Suy ra \(M=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{2017c^2}{c-1}\ge4+8+8068=8080\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=8080 khi a=b=c=2

Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)

Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)

Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)

\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)

\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)

Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)

Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)

                              Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{​​}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó  \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

3. Áp dụng cô si ta có 

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)

Lại có:

 \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)

Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 4\leq x+y\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)

\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)

Mà:

\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)

\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)

\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)

Bài 2:

\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)

\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)

\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)

\(\Rightarrow B\geq 24\)

Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(4=2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=x^2+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{4}}\)

\(\Rightarrow 4\geq x^2y^2\Rightarrow 2\geq xy\geq -2\)

Ta thấy khi $xy$ càng tiến về $0$ và dương thì $C=\frac{1}{xy}$ càng lớn. Do đó $C=\frac{1}{xy}$ không có GTLN.

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\geq (1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow A.1\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\)

Vậy GTNN của $A$ là $9$. Giá trị này đạt được tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 2:

Hoàn toàn tương tự bài 1

$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$

Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$

mk ko bit

mik tính ko ra

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?

8

555566655

5665656746565656+5965=?

Ta có: \(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) ( với a,b,c dương)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c

Lại có: \(\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1\right);\frac{1}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+1\right);\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+1\right)\)

\(\Rightarrow P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z}+1\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\frac{9}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của P= 3/2 <=> x=y=z=1